大家好！本文和大家分享一下这道2014年江苏高考数学填空压轴题，也就是那套试卷的第14题。看到是填空压轴题，不少学生就选择了直接放弃，但是学霸看过题后却说很简单。下面我们一起来看一下这道填空压轴题。
这道题考查的是正余弦定理及基本不等式求最值。
在高中阶段，解三角形是性价比非常的高的一个知识点。为什么这样说呢？一是解三角形涉及到的知识点并不多，主要包括正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理这三点；二是高考分值高，一般来说全国卷中解三角形的题目有10-12分；三是高考中解三角形的题目难度不算大，至少比圆锥曲线、导数等题目简单很多。所以在学习过程中，我们一般都要求学生牢固掌握解三角形这一板块，争取做到考试不丢分。
基本不等式是高中数学非常重要的一个不等式，特别是用基本不等式求最值是高中生必须掌握的知识点。不过，近年来在全国卷中，单独考查基本不等式的题目已经越来越少了，更多的时候是考查将基本不等式作为一个工具来求最值。基本不等式求最值需要记住七个字：一正二定三相等。一正指的是各项均为正数，二正指的是各项之积或各项之和为定值，三相等就是各项相等时才能取等号。
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回到这道题目。
要求cosC的最小值，首先就要先写出cosC的表达式。由于这是在三角形中，所以我们可以想到用余弦定理来表示cosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。接下来，我们就需要减少未知量的个数，那怎么办呢？
题干中还告诉了我们一个等量关系，即sinA+√2sinB=2sinC，而我们前面得到的cosC的表达式的右边都是边，所以就可以想到用正弦定理来角化边，从而得到a+√2b=2c，即c=(a+√2b)/2。
将c代入cosC的表达式，整理后得到：cosC=(3a)/(8b)+b/(4a)-√2/4。由于a、b为三角形的边，所以a、b均为正数，即(3a)/(8b)和b/(4a)也都是正数，满足“一正”。再观察可以发现，(3a)/(8b)和b/(4a)的乘积为定值，满足“二定”。所以由基本不等式就可以得到：cosC≥(√6-√2)/4，当且仅当(3a)/(8b)=b/(4a)，即b=√6a/2时，等号成立，即满足“三相等”。所以，cosC的最小值为(√6-√2)/4。
江苏高考数学的难度在全国都是出了名的，但是单拿这道题来说，作为填空压轴题的难度确实不算大。只要考生在考场上能够保持平常心，发挥出正常水平，相信中等以上的学生都能轻松求解出来。你觉得呢？
